Question

6．已知函数f（x）=e^x+ae^-x为偶函数，则f（x-1）＞$\frac{{{e^4}+1}}{e^2}$的解集为（-∞，-1）∪（3，+∞）．

Answer 1

分析 利用函数的偶函数求出a，利用函数的单调性，列出不等式求解不等式的解集即可．

解答 解：函数f（x）=e^x+ae^-x为偶函数，
可得e^x+ae^-x=e^-x+ae^x，解得a=1．
函数f（x）=e^x+e^-x，当x＞0时，f′（x）=e^x-e^-x＞0，函数是增函数，
f（x-1）＞$\frac{{{e^4}+1}}{e^2}$=f（2），
可得|x-1|＞2，解得x∈（-∞，-1）∪（3，+∞）．
故答案为：（-∞，-1）∪（3，+∞）．

点评 本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的应用，考查转化思想以及计算能力．