Question

9．已知数列{a_n}中，a₁=1，a_2k=a_2k-1+（-1）^k，a_2k+1=a_2k+2^k（k∈N^*），则{a_n}的前60项的和S₆₀=2³²-94．

Answer 1

分析 由条件可得S_奇=S_偶，求出a₂，a₄，a₆，…，累加可得S_偶=2³¹-47，问题得以解决．

解答 解：由题意，得a₂=a₁-1=0，a₄=a₃+1，a₆=a₅-1，…，a₆₀=a₅₉+1，
所以S_奇=S_偶．
又${a_{2k-1}}={a_{2k-2}}+{2^{k-1}}$（k≥2），代入${a_{2k}}={a_{2k-1}}+{（-1）^k}$，得${a_{2k}}={a_{2k-2}}+{2^{k-1}}+{（-1）^k}$（k≥2），
所以a₂=0，${a_4}={a_2}+{2^1}+{（-1）^2}$，${a_6}={a_4}+{2^2}+{（-1）^3}$，${a_8}={a_6}+{2^3}+{（-1）^4}$，…，${a_{2k}}={a_{2k-2}}+{2^{k-1}}+{（-1）^k}$，
将上式相加，得2+2²+…+2^k-1+（-1）²+（-1）³+…+（-1）^k=${2^k}-2+\frac{{1-{{（-1）}^{k-1}}}}{2}={2^k}-\frac{{3+{{（-1）}^{k-1}}}}{2}$，
所以S_偶=$（2+{2^2}+{2^3}+…+{2^{29}}+{2^{30}}）-\frac{1}{2}（15×2+15×4）$=$\frac{{2（{1-{2^{30}}}）}}{1-2}-45$=2³¹-47，
所以${S_{60}}=2（{{2^{31}}-47}）$=2³²-94．

点评 本题考查数列的求和方法：注意运用分组求和，注意运用等比数列的求和公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．