Question

5．设a，b，c，d∈R，求证：对于任意p，q∈R，$\sqrt{（a-p）^{2}+（b-q）^{2}}$+$\sqrt{（c-p）^{2}+（d-q）^{2}}$≥$\sqrt{（a-c）^{2}+（b-d）^{2}}$．

Answer 1

分析 设A（a，b），B（p，q），C（c，d），分ABC三点不共线，B在AC的延长线，或反向延长线上，B点在AC上三种情况讨论，可得结论．

解答 证明：A（a，b），B（p，q），C（c，d） 则
|AB|=$\sqrt{（a-p）^{2}+（b-q）^{2}}$；
|BC|=$\sqrt{{（c-p）}^{2}+{（d-q）}^{2}}$；
|AC|=$\sqrt{{（a-c）}^{2}+{（b-d）}^{2}}$；
若ABC三点不共线，由三角形两边之和大于第三边，有：
$\sqrt{{（a-p）}^{2}+{（b-q）}^{2}}$+$\sqrt{{（c-p）}^{2}+{（d-q）}^{2}}$＞$\sqrt{{（a-c）}^{2}+{（b-d）}^{2}}$； 
当B在AC的延长线，或反向延长线上时，
$\sqrt{{（a-p）}^{2}+{（b-q）}^{2}}$+$\sqrt{{（c-p）}^{2}+{（d-q）}^{2}}$＞$\sqrt{{（a-c）}^{2}+{（b-d）}^{2}}$仍成立；
当B点在AC上时，有：$\sqrt{{（a-p）}^{2}+{（b-q）}^{2}}$+$\sqrt{{（c-p）}^{2}+{（d-q）}^{2}}$=$\sqrt{{（a-c）}^{2}+{（b-d）}^{2}}$
综上所述：$\sqrt{{（a-p）}^{2}+{（b-q）}^{2}}$+$\sqrt{{（c-p）}^{2}+{（d-q）}^{2}}$≥$\sqrt{{（a-c）}^{2}+{（b-d）}^{2}}$

点评 本题考查的知识点是分类讨论思想，两点之间距离公式的应用，难度中档．