Question

16．已知圆C：x²+y²-2x-4y-20=0及直线l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4（m∈R）．
（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C总相交；
（2）求直线l被圆C截得的弦长的最小值及此时的直线方程．

Answer 1

分析 （1）求出直线l过定点（3，1），圆C的圆心为（1，2），半径为5．定点（3，1）到圆心（1，2）的距离小于半径，从而得到点（3，1）在圆内，由此能证明不论m取什么实数，直线l与圆C总相交．
（2）设直线l与圆交于A、B两点．当直线l过定点M（3，1）且垂直于过点M的圆C的半径时，l被截得的弦长|AB|最短．

解答 证明：（1）把直线l的方程改写成（x+y-4）+m（2x+y-7）=0，
由方程组$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4=0}\\{2x+y-7=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，
所以直线l总过定点（3，1）．
圆C的方程可写成（x-1）²+（y-2）²=25，
所以圆C的圆心为（1，2），半径为5．
定点（3，1）到圆心（1，2）的距离为$\sqrt{（3-1）^{2}+（1-2）^{2}}$=$\sqrt{5}$＜5，
即点（3，1）在圆内．
所以过点（3，1）的直线总与圆相交，即不论m取什么实数，直线l与圆C总相交．
解：（2）设直线l与圆交于A、B两点．当直线l过定点M（3，1）且垂直于过点M的圆C的半径时，
l被截得的弦长|AB|最短．
因为|AB|=2$\sqrt{|BC{|}^{2}-|CM{|}^{2}}$=2$\sqrt{25-（3-1）^{2}+（1-2）^{2}}$=2$\sqrt{20}$=4$\sqrt{5}$，
此时k_AB=-$\frac{1}{{k}_{CM}}$=2，所以直线AB的方程为y-1=2（x-3），即2x-y-5=0．
故直线l被圆C截得的弦长最小值为4$\sqrt{5}$，此时直线l的方程为2x-y-5=0．

点评 本题考查直线与圆总相交的证明，考查圆的方程、直线与圆的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题．