Question

6．某电力公司调查了某地区夏季居民的用电量y（万千瓦时）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，记作y=f（t），如表是某日各时的用电量数据：

t（时）	0	3	6	9	12	15	18	21	24
y（万千瓦时）	2.5	2	1.5	2	2.5	2	1.5	2	2.5

经长期观察y=f（t）的曲线可近似地看成函数y=Asin（ωt+φ）+B（A＞0，0＜φ＜π）．
（Ⅰ）根据以上数据，求出函数y=Asin（ωt+φ）+B（A＞0，0＜φ＜π）的解析式；
（Ⅱ）为保证居民用电，电力部门提出了“消峰平谷”的想法，即提高高峰时期的电价，同时降低低峰时期的电价，鼓励企业在低峰时用电．若居民用电量超过2.25万千瓦时，就要提高企业用电电价，请依据（Ⅰ）的结论，判断一天内的上午8：00到下午18：00，有几个小时要提高企业电价？

Answer 1

分析 （Ⅰ）观察表中数据，可得周期T=12，从而ω=$\frac{π}{6}$，根据三角函数的最值特点，求取A，B的值，选取一个坐标即可得到函数y=Asin（ωt+φ）+B，
（Ⅱ）利用三角函数的性质，求其在范围的情况，

解答 解：观察表中数据，可得周期T=12，从而ω=$\frac{π}{6}$，
由：$\left\{\begin{array}{l}{A+B=2.5}\\{-A+B=1.5}\end{array}\right.$，解得：A=0.5，B=2．
所以：函数y=0.5sin（$\frac{π}{6}$t+φ）+2．
又函数y=0.5sin（$\frac{π}{6}$t+φ）+2过坐标（0，2.5），带入解得：φ=$\frac{π}{2}+2kπ$，（k∈Z）；
∵0＜φ＜π；
∴φ=$\frac{π}{2}$．
故：所求函数解析式为y=0.5sin（$\frac{π}{6}$t$+\frac{π}{2}$）+2．（0≤t≤24）．
（Ⅱ）由题意，可知，0.5sin（$\frac{π}{6}$t$+\frac{π}{2}$）+2＞2.25．
解得：cos$\frac{π}{6}t$＞$\frac{1}{2}$，即$-\frac{π}{3}+2kπ＜\frac{π}{6}t＜\frac{π}{3}+$2kπ，（k∈Z）．
整理得：-2+12k＜t＜2+12k，（k∈Z）．
∵0≤t≤24，
令k=0，1，3…24．
当k=0时，0≤t＜2；
当k=1时，10＜t＜14；
当k=2时，22＜t≤24．
∴在一天内的上午8：00到下午18：00，有4个小时要提高企业电价．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，根据表中的数据特点求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系．属于中档题．