Question

18．在△ABC中，已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinA，1），$\overrightarrow{b}$=（cosA，$\sqrt{3}$），且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$
（1）若sinφ=$\frac{3}{5}$，0＜φ＜$\frac{π}{2}$，求cos（φ-A）的值；
（2）若△ABC面积为2，AB=2，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）利用向量共线定理、三角函数的基本关系式、和差公式即可得出．
（2）利用三角形面积计算公式、余弦定理即可得出．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，∴$\sqrt{3}$sinA=cosA，∴tanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，A∈（0，π）．
∴A=$\frac{π}{6}$．
∵sinφ=$\frac{3}{5}$，0＜φ＜$\frac{π}{2}$，∴cosφ=$\sqrt{1-si{n}^{2}φ}$=$\frac{4}{5}$．
∴cos（φ-A）=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{4}{5}+\frac{1}{2}×\frac{3}{5}$=$\frac{3+4\sqrt{3}}{10}$．
（2）∵S=$\frac{1}{2}$bcsinA，
∴2=$\frac{1}{2}b×2×\frac{1}{2}$，解得b=4．
∴a²=4²+2²-2×4×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=20-8$\sqrt{3}$，
解得a=2$\sqrt{5-2\sqrt{3}}$．

点评 本题考查了向量共线定理、三角函数的基本关系式、和差公式、三角形面积计算公式、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．