Question

3．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=PB=PC=BC=2CD，平面PBC⊥平面ABCD，M为PD的中点，过A，B，M的平面记为α．
（1）平面α与四棱锥P-ABCD的面相交，交线围成一个梯形，在图中画出这个梯形；（不必说明画法及理由）
（2）求证：AB⊥平面PBC；
（3）若CD=1，求三棱锥M-ACD的体积．

Answer 1

分析 （1）取PC中点N，连结MN，AM，BN，则梯形MNBA即为要求的梯形；
（2）根据面面垂直的性质即可得出AB⊥平面PBC；
（3）作△PBC的中线PE，则M到底面的距离为$\frac{1}{2}PE$，代入体积公式计算．

解答 解：（1）取PC中点N，连结MN，AM，BN，则梯形MNBA为要求的梯形
（2）∵∠ABC=90°，∴AB⊥BC．
∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，AB⊥BC，AB?平面ABCD，
∴AB⊥平面PBC．
（3）∵PB=PC=BC=2CD=2，∴△PBC是等边三角形，
过P作PE⊥BC，则PE⊥平面ABCD，且PE=$\sqrt{P{B}^{2}-B{E}^{2}}=\sqrt{3}$．
∴M到平面ACD的距离h=$\frac{1}{2}PE=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵S_△ACD=$\frac{1}{2}×CD×BC$=1．
∴三棱锥M-ACD的体积V=$\frac{1}{3}{S}_{△ACD}•h$=$\frac{1}{3}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查了平面的作法，面面垂直的性质，棱锥的体积计算，属于中档题．