Question

已知已知M={a|f（x）=2sinax 在[-

π

3

，

π

4

]上是增函数}，N={b|方程3^-|x-1|-b+1=0有实数解}，设D=M∩N，函数f（x）=

x+n

x2+m

是定义在R上的奇函数，则下列命题中正确的是

 

（填出所有正确命题的序号）
①m=（-∞，

3

2

]；
②N=（0，2）；
③D=（1，

3

2

]；
④n=0，m∈R；
⑤如果f（x）在D上没有最小值，那么m的取值范围是（

3

2

，+∞）．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：本题①先研究函数f（x）=2sinax的周期和0附近单调区间[-

π

2|a|

，

π

2|a|

]，然后比较[-

π

3

，

π

4

]与[-

π

2|a|

，

π

2|a|

]，求出m的取值范围，得到选项①不正确；
再将3^-|x-1|-b+1=0，变形为b=3^-|x-1|+1，研究函数值域，得到1＜b≤2，得到选项②不正确；
求M、N的交集，得到D=M∩N=（1，

3

2

]，选项③正确；
由函数f（x）的定义为R，得到x²+m≠0恒成立，从而有m＞0．得到故选项④不成立；
再变形研究函数f（x）取值情况，得到x+

m

x

无最大值，记g（x）=x+

m

x

，
则g（1）＞g(

3

2

)，得到m＞

3

2

．故知选项⑤正确．

解答： 解：选项①，
∵函数f（x）=2sinax的周期为

2π

|a|

，（a≠0）
∴函数f（x）=2sinax在区间[-

π

2|a|

，

π

2|a|

]上单调递增，
∵f（x）=2sinax 在[-

π

3

，

π

4

]上是增函数，
∴-

π

2|a|

≤-

π

3

，

π

4

≤

π

2|a|

，
∴|a|≤

3

2

．
∴a∈[-

3

2

，0)∪(0，

3

2

]．
∵M={a|f（x）=2sinax 在[-

π

3

，

π

4

]上是增函数}，
∴M=[-

3

2

，0)∪(0，

3

2

]∪(0，

3

2

]．
故选项①不正确．
选项②，
又∵3^-|x-1|-b+1=0，
∴b=3^-|x-1|+1＞1，
b=3^-|x-1|+1≤3⁰+1=2，
∴1＜b≤2．
∵N={b|方程3^-|x-1|-b+1=0有实数解}，
∴N=（1，2]．
故选项②不正确．
选项③，
∵M=[-

3

2

，0)∪(0，

3

2

]∪(0，

3

2

]，N=（1，2]，
∴D=M∩N=（1，

3

2

]．
故选项③正确．
选项④，
∵函数f（x）=

x+n

x2+m

是奇函数，
∴

-x+n

(-x)2+m

=-

x+n

x2+m

，
∴n=0，
∵函数f（x）的定义为R，
∴x²+m≠0恒成立，
∴m＞0．
故选项④不成立．
∴函数f（x）=

x

x2+m

=

1

x+ m x

，（m＞0）．
选项⑤，
要使f（x）在区间（1，

3

2

]上无最小值，
则要x+

m

x

无最大值，
记g（x）=x+

m

x

，
则g（1）＞g(

3

2

)，
∴1+m＞

3

2

+

2m

3

，
∴m＞

3

2

．
故选项⑤正确．
故答案为：③⑤．

点评：本题考查了函数的奇偶性、单调性、函数的定义域、值域、图象与最值，本题有一定的综合性，难度适中，属于中档题．