Question

已知过抛物线y²=x的焦点F的直线m的倾斜角是θ≥

π

4

，m交抛物线于A，B两点且A在x轴上方，则|FA|的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：当倾斜角θ=

π

4

时，直线m的方程为：y=x-

1

4

，与抛物线方程联立可得16x²-24x+1=0，取x=

3+2 2

4

，由于π＞θ≥

π

4

，可得0＜xA≤

3+2 2

4

．利用|FA|=x_A+

1

4

即可得出．

解答： 解：当倾斜角θ=

π

4

时，直线m的方程为：y=x-

1

4

，
联立

y=x- 1 4 y2=x

，化为16x²-24x+1=0，
解得x=

3±2 2

4

，
取x=

3+2 2

4

，
∵π＞θ≥

π

4

，
∴0＜xA≤

3+2 2

4

．
|FA|=x_A+

1

4

．
∴

1

4

＜|FA|≤1+

2

2

．
故答案为：(

1

4

，1+

2

2

]．

点评：本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立、焦点弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．