Question

4．已知点A（-3，0），B（3，0），动点P满足|PA|=2|PB|．
（1）若点P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；
（2）若点Q在直线l₁：x+y+3=0上，直线l₂经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，当|QM|取最小值时，求直线QM的方程．

Answer 1

分析 （1）设P点的坐标为（x，y），利用动点P满足|PA|=2|PB|，求解曲线的方程C的方程．
（2）求出圆的圆心与半径，求出圆心M到直线l₁的距离，求出QM|的最小值，求出直线CQ的方程，得Q坐标，设切线方程为y+4=k（x-1），圆心到直线的距离$d=\frac{|4k-4|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=4$，求出k求解直线方程．

解答 解：（1）设P点的坐标为（x，y），…（1分）
因为两定点A（-3，0），B（3，0），动点P满足|PA|=2|PB|，
所以（x+3）²+y²=4[（x-3）²+y²]，…（4分）
即（x-5）²+y²=16．
所以此曲线的方程为（x-5）²+y²=16．…（6分）
（2）因为（x-5）²+y²=16的圆心坐标为C（5，0），半径为4，
则圆心M到直线l₁的距离为$\frac{|5+3|}{{\sqrt{2}}}=4\sqrt{2}$，…（7分）
因为点Q在直线l₁：x+y+3=0上，过点Q的直线l₂与曲线C：（x-5）²+y²=16只有一个公共点M，所以QM|的最小值为$\sqrt{（4\sqrt{2}{）^2}-{4^2}}=4$．…（9分）
直线CQ的方程为x-y-5=0，
联立直线l₁：x+y+3=0，可得Q（1，-4），…（10分）
设切线方程为y+4=k（x-1），即kx-y-k-4=0，…（11分）
故圆心到直线的距离$d=\frac{|4k-4|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=4$，得k=0，切线方程为y=-4；…（13分）
当切线斜率不存在时，切线方程为x=1，…（14分）
因此直线QM的方程x=1或y=-4．…（15分）

点评 本题考查轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系的综合应用，考查计算能力．