Question

15．设命题p：实数a满足不等式3^a≤9，命题q：x²+3（3-a）x+9≥0的解集为R．已知“p∧q”为真命题，并记为条件r，且条件t：实数a满足a＜m或$a＞m+\frac{1}{2}$．
（1）求条件r的等价条件（用a的取值范围表示）；
（2）若r是￢t的必要不充分条件，求正整数m的值．

Answer 1

分析 （1）求出“p∧q”为真命题，实数a的取值范围
（2）结合r是￢t的必要不充分条件，可得满足条件的正整数m的值．

解答 解：（1）由3^a≤9，得a≤2，即p：a≤2． 
由△=9（3-a）²-4×9≤0，解得1≤a≤5，即q：1≤a≤5．
∵“p∧q”为真命题，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{1≤a≤5}\end{array}\right.$，
解得1≤a≤2．
（2）又t：a＜m或$a＞m+\frac{1}{2}$，从而$?t：m≤a≤m+\frac{1}{2}$．
∵r是?t的必要不充分条件，即?t是r的充分不必要条件，
∴$\left\{\begin{array}{l}m≥1\\ m+\frac{1}{2}≤2\end{array}\right.$，
解得$1≤m≤\frac{3}{2}$，
∵m∈N^*，
∴m=1

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了充要条件，函数的极值，指数不等式的解法，二次不等式的解法，复合命题，难度中档．