Question

7．已知正项数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，2a_n²=a_n-1²+a_n+2²（n≥2），b_n=$\frac{1}{{a}_{n}+{a}_{n+1}}$记数列{b_n}的前n项和为S_n，则S₃₃的值是（　　）

• A． $\sqrt{99}$
• B． $\sqrt{33}$
• C． 4$\sqrt{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 由2a_n²=a_n-1²+a_n+1²（n≥2），可得数列{a_n²}为等差数列，进而得到b_n=$\frac{1}{3}$（$\sqrt{3n+1}$-$\sqrt{3n-2}$），再利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：∵2a_n²=a_n-1²+a_n+1²（n≥2），
∴数列{a_n²}为等差数列，首项为1，公差为2²-1=3．
∴a_n²=1+3（n-1）=3n-2．a_n＞0．
∴a_n=$\sqrt{3n-2}$，
∴b_n=$\frac{1}{{a}_{n}+{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{\sqrt{3n-2}+\sqrt{3n+1}}$=$\frac{1}{3}$（$\sqrt{3n+1}$-$\sqrt{3n-2}$），
∴数列{b_n}的前n项和为S_n=$\frac{1}{3}$[（$\sqrt{4}$-1）+（$\sqrt{7}$-$\sqrt{4}$）+…+（$\sqrt{3n+1}$-$\sqrt{3n-2}$）]
=$\frac{1}{3}$（$\sqrt{3n+1}$-1）．
则S₃₃=$\frac{1}{3}$（10-1）=3．
故选：D

点评 本题考查了等差数列的定义通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．