设A(x1.y1).B(x2.y2)是函数f(x)=1+log2x1-x的图象上任意两点.且OM=12(OA+OB).已知点M的横坐标为12．(1)求证:M点的纵坐标为定值,(2)若Sn=f(1n)+f(2n)+-+f(n-1n).n∈N*.且n≥2.求Sn,的条件下.已知an=12 n=11(Sn+1)(Sn+1+1) n≥2且n∈N*.Tn为数列{an}的前n项和.若Tn＜λ对� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数f（x）=1+log₂

1-x

的图象上任意两点，且

（

），已知点M的横坐标为

．
（1）求证：M点的纵坐标为定值；
（2）若S_n=f（

）+f（

）+…+f（

n-1

），n∈N^*，且n≥2，求S_n；
（3）在（2）的条件下，已知a_n=

n=1

(Sn+1)(Sn+1+1)

n≥2且n∈N*

，T_n为数列{a_n}的前n项和，若T_n＜λ对一切n∈N^*都成立，试求λ的取值范围．

考点：数列与函数的综合,数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）确定M是A，B的中点，利用点M的横坐标为

，即可证明M点的纵坐标为定值；
（2）由（1）知，x₁+x₂=1，y₁+y₂=1，利用倒序相加法，可求S_n；
（3）利用裂项法求和，即可求λ的取值范围．

解答： （1）证明：∵

（

），
∴M是A，B的中点，
∵点M的横坐标为

，
∴x₁+x₂=1，
∴y₁+y₂=1+log2

1-x1

+1+log2

1-x2

=1，
∴∴M点的纵坐标为定值

；
（2）解：由（1）知，x₁+x₂=1，y₁+y₂=1，
∵S_n=f（

）+f（

）+…+f（

n-1

），
∴S_n=f（

n-1

）+…+f（

），
以上两式相加得：2S_n=n-1，
∴S_n=

n-1

；
（3）解：当n≥2时，a_n=4（

n+1

n+2

），
∴T_n=

+4（+

+…+

n+1

n+2

）=

n+2

，
∴T_n≥2，
∵T_n＜λ对一切n∈N^*都成立，
∴λ＞2．

点评：本题考查数列与函数的综合，考查数列的通项与求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

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