题目内容
设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f（x）=1+log2
的图象上任意两点，且
=
（
+
），已知点M的横坐标为
．
（1）求证：M点的纵坐标为定值；
（2）若Sn=f（
）+f（
）+…+f（
），n∈N*，且n≥2，求Sn；
（3）在（2）的条件下，已知an=
，Tn为数列{an}的前n项和，若Tn＜λ对一切n∈N*都成立，试求λ的取值范围．
| x |
| 1-x |
| OM |
| 1 |
| 2 |
| OA |
| OB |
| 1 |
| 2 |
（1）求证：M点的纵坐标为定值；
（2）若Sn=f（
| 1 |
| n |
| 2 |
| n |
| n-1 |
| n |
（3）在（2）的条件下，已知an=
|
考点：数列与函数的综合,数列的求和
专题：综合题,等差数列与等比数列
分析：（1）确定M是A，B的中点，利用点M的横坐标为
，即可证明M点的纵坐标为定值；
（2）由（1）知，x1+x2=1，y1+y2=1，利用倒序相加法，可求Sn；
（3）利用裂项法求和，即可求λ的取值范围．
| 1 |
| 2 |
（2）由（1）知，x1+x2=1，y1+y2=1，利用倒序相加法，可求Sn；
（3）利用裂项法求和，即可求λ的取值范围．
解答：
（1）证明：∵
=
（
+
），
∴M是A，B的中点，
∵点M的横坐标为
，
∴x1+x2=1，
∴y1+y2=1+log2
+1+log2
=1，
∴∴M点的纵坐标为定值
；
（2）解：由（1）知，x1+x2=1，y1+y2=1，
∵Sn=f（
）+f（
）+…+f（
），
∴Sn=f（
）+…+f（
），
以上两式相加得：2Sn=n-1，
∴Sn=
；
（3）解：当n≥2时，an=4（
-
），
∴Tn=
+4（+
-
+…+
-
）=
，
∴Tn≥2，
∵Tn＜λ对一切n∈N*都成立，
∴λ＞2．
| OM |
| 1 |
| 2 |
| OA |
| OB |
∴M是A，B的中点，
∵点M的横坐标为
| 1 |
| 2 |
∴x1+x2=1，
∴y1+y2=1+log2
| x1 |
| 1-x1 |
| x2 |
| 1-x2 |
∴∴M点的纵坐标为定值
| 1 |
| 2 |
（2）解：由（1）知，x1+x2=1，y1+y2=1，
∵Sn=f（
| 1 |
| n |
| 2 |
| n |
| n-1 |
| n |
∴Sn=f（
| n-1 |
| n |
| 1 |
| n |
以上两式相加得：2Sn=n-1，
∴Sn=
| n-1 |
| 2 |
（3）解：当n≥2时，an=4（
| 1 |
| n+1 |
| 1 |
| n+2 |
∴Tn=
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| n+1 |
| 1 |
| n+2 |
| 2n |
| n+2 |
∴Tn≥2，
∵Tn＜λ对一切n∈N*都成立，
∴λ＞2．
点评：本题考查数列与函数的综合，考查数列的通项与求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知△ABC是边长为2的等边三角形，在平面ABC所在平面上有一点P，M是AP的中点，满足（
-
）•（
-
）=0，则|
|的最小值为（ ）
| AC |
| AM |
| AB |
| AP |
| BM |
A、
| ||||||
B、
| ||||||
C、
| ||||||
D、
|