题目内容
设点F（1，0），动圆P经过点F且和直线x=-1相切．记动圆的圆心P的轨迹为曲线W．
（Ⅰ）求曲线W的方程；
（Ⅱ）过点M（0，2）的直线l与曲线W交于A、B两点，且直线l与x轴交于点C，设
=α
，
=β
，求证：α+β为定值．
（Ⅰ）求曲线W的方程；
（Ⅱ）过点M（0，2）的直线l与曲线W交于A、B两点，且直线l与x轴交于点C，设
| MA |
| AC |
| MB |
| BC |
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（I）由抛物线定义得：P点轨迹W是以F为焦点以x=-1为准线的抛物线，由此能求出曲线W的方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为：y=kx+2，联立
，得：k2x2+（4k-4）x+4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（-
，0），由
=α
，
=β
，得，α=
，β=
，由此利用韦达定理能证明α+β为定值-1．
（Ⅱ）设直线l的方程为：y=kx+2，联立
|
| 2 |
| k |
| MA |
| AC |
| MB |
| BC |
| -kx1 |
| kx1+2 |
| -kx2 |
| kx2+2 |
解答：
（I）解：设动圆圆心P（x，y），
由抛物线定义得：P点轨迹W是以F为焦点以x=-1为准线的抛物线，
设其方程为y2=2px，（p＞0），则
=1，解得p=2，
∴曲线W的方程为y2=4x．（4分）
（Ⅱ）证明：设直线l的方程为：y=kx+2，k≠0，
联立
，得：k2x2+（4k-4）x+4=0，①
设A（x1，y1），B（x2，y2），C（-
，0），
则x1+x2=-
，x1x2=
，②…（8分）
由
=α
，
=β
，得，
（x1，y1-2）=α(-x1-
，-y1)，（x2，y2-2）=β(-x2-
，-y2)，…（10分）
整理，得：α=
，β=
，
则α+β=
，
代入得α+β=-1，故α+β为定值且定值为-1．…（12分）
由抛物线定义得：P点轨迹W是以F为焦点以x=-1为准线的抛物线，
设其方程为y2=2px，（p＞0），则
| p |
| 2 |
∴曲线W的方程为y2=4x．（4分）
（Ⅱ）证明：设直线l的方程为：y=kx+2，k≠0，
联立
|
设A（x1，y1），B（x2，y2），C（-
| 2 |
| k |
则x1+x2=-
| 4k-4 |
| k2 |
| 4 |
| k2 |
由
| MA |
| AC |
| MB |
| BC |
（x1，y1-2）=α(-x1-
| 2 |
| k |
| 2 |
| k |
整理，得：α=
| -kx1 |
| kx1+2 |
| -kx2 |
| kx2+2 |
则α+β=
| -2k2x1x2-2k(x1+x2) |
| k2x1x2+2k(x1+x2)+4 |
代入得α+β=-1，故α+β为定值且定值为-1．…（12分）
点评：本题考查曲线方程的求法，考查两数和为定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．
练习册系列答案
期末100分闯关海淀考王系列答案
小学能力测试卷系列答案
相关题目
将函数y=2sin
x的图象上每一点向右平移1个单位，再将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的
倍（纵坐标保持不变），得到函数y=f（x）的图象，则f（x）的一个解析式是（ ）
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
A、y=2sin（x+
| ||
B、y=2sin（x-
| ||
| C、y=2sin（x+1） | ||
| D、y=2sin（x-1） |
以F1（-1，0）和F2（1，0）为焦点的椭圆C过点A（1，