Question

8．已知函数f（x）=ln（1+x）-ln（1-x），给出以下四个命题：
①?x∈（-1，1），有f（-x）=-f（x）；
②?x₁，x₂∈（-1，1）且x₁≠x₂，有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞0$；
③?x₁，x₂∈（0，1），有$f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）≤\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$；
④?x∈（-1，1），|f（x）|≥2|x|．
其中所有真命题的序号是（　　）

• A． ①②
• B． ③④
• C． ①②③
• D． ①②③④

Answer 1

分析 ①利用函数奇偶性的定义可判断出?x∈（-1，1），有f（-x）=-f（x），可判断①正确；
②x∈（-1，1），由$f'（x）=\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}=\frac{2}{{1-{x^2}}}≥2＞0$，可知f（x）在区间（-1，1）上单调递增，可判断②正确；
③利用f′（x）=$\frac{2}{1{-x}^{2}}$在（0，1）单调递增可判断③正确；
④构造函数g（x）=f（x）-2x，则当x∈（0，1）时，g'（x）=f'（x）-2≥0，⇒g（x）在（0，1）单调递增，再利用g（x）=f（x）-2x为奇函数，可判断④正确．

解答 解：对于①，∵f（x）=ln（1+x）-ln（1-x），且其定义域为（-1，1），
∴f（-x）=ln（1-x）-ln（1+x）=-[ln（1+x）-ln（1-x）]=-f（x），
即①?x∈（-1，1），有f（-x）=-f（x），故①是真命题；
对于②，∵x∈（-1，1），由$f'（x）=\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}=\frac{2}{{1-{x^2}}}≥2＞0$，
可知f（x）在区间（-1，1）上单调递增，
即?x₁，x₂∈（-1，1）且x₁≠x₂，有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞0$，故②是真命题；
对于③，∵f′（x）=$\frac{2}{1{-x}^{2}}$在（0，1）单调递增，∴?x₁，x₂∈（0，1），
有$f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）≤\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$，故③是真命题；
对于④，设g（x）=f（x）-2x，则当x∈（0，1）时，g'（x）=f'（x）-2≥0，所以g（x）在（0，1）单调递增，所以当x∈（0，1）时，g（x）＞g（0），即f（x）＞2x；由奇函数性质可知，?x∈（-1，1），|f（x）|≥2|x|，故④是真命题．
故选：D．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，突出考查函数奇偶性与单调性及“凸凹”性的综合应用，属于难题．