Question

13．已知定直线l：y=x+3，定点A（2，1），以坐标轴为对称轴的椭圆C过点A且与l相切．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）椭圆的弦AP，AQ的中点分别为M，N，若MN平行于l，则OM，ON斜率之和是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设椭圆的标准方程为mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n），椭圆C过点A，所以4m+n①，
将y=x+3代入椭圆方程化简得：（m+n）x²+6nx+9n-1=0，由△=（6n）²-4（m+n）（9n-1）=0②，…（4分）
 可得，$m=\frac{1}{6}，n=\frac{1}{3}$，即可得椭圆方程．
（Ⅱ）设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），可知PQ∥MN，所以k_PQ=k_MN=1，
设直线PQ的方程为y=x+t，代入椭圆方程并化简得：3x²+4tx+2t²-6=0
由题意可知$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=-\frac{4t}{3}\\{x_1}{x_2}=\frac{{2{t^2}-6}}{3}\end{array}\right.$，利用韦达定理可计算${k_{OM}}+{k_{ON}}=\frac{{2（2{t^2}-6）+（t+3）（-4t）+12t+12}}{{3{x_1}{x_2}+6（{x_1}+{x_2}）+12}}=\frac{0}{{3{x_1}{x_2}+6（{x_1}+{x_2}）+12}}=0$

解答 解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n）
椭圆C过点A，所以4m+n①，…（2分）
将y=x+3代入椭圆方程化简得：（m+n）x²+6nx+9n-1=0，
因为直线l与椭圆C相切，所以△=（6n）²-4（m+n）（9n-1）=0②，…（4分）
解①②可得，$m=\frac{1}{6}，n=\frac{1}{3}$，
所以椭圆方程为$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$；…（6分）
（Ⅱ）设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则有$M（\frac{{{x_1}+2}}{2}，\frac{{{y_1}+1}}{2}），N（\frac{{{x_2}+2}}{2}，\frac{{{y_2}+1}}{2}）$，
由题意可知PQ∥MN，所以k_PQ=k_MN=1，设直线PQ的方程为y=x+t，
代入椭圆方程并化简得：3x²+4tx+2t²-6=0
由题意可知$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=-\frac{4t}{3}\\{x_1}{x_2}=\frac{{2{t^2}-6}}{3}\end{array}\right.$③…（8分）${k_{OM}}+{k_{ON}}=\frac{{{y_1}+1}}{{{x_1}+2}}+\frac{{{y_2}+1}}{{{x_2}+2}}=\frac{{{x_1}+t+1}}{{{x_1}+2}}+\frac{{{x_2}+t+1}}{{{x_2}+2}}$
通分后可变形得到${k_{OM}}+{k_{ON}}=\frac{{2{x_1}{x_2}+（t+3）（{x_1}+{x_2}）+4t+4}}{{{x_1}{x_2}+2（{x_1}+{x_2}）+4}}$…（10分）
将③式代入分子${k_{OM}}+{k_{ON}}=\frac{{2（2{t^2}-6）+（t+3）（-4t）+12t+12}}{{3{x_1}{x_2}+6（{x_1}+{x_2}）+12}}=\frac{0}{{3{x_1}{x_2}+6（{x_1}+{x_2}）+12}}=0$
所以OM，ON斜率之和为定值0．…（12分）

点评 本题考查了椭圆的方程，椭圆与直线的位置关系，定值问题的处理方法，属于中档题．