Question

设⊙C_n：（x-a_n）²+（y-n）²=5n²，且⊙C_n与⊙C_n-1内切，数列{a_n}是正项数列，且首项a₁=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=

1

anan+1

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的概念及简单表示法,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由于⊙C_n与⊙C_n-1内切，可得

(an-an-1)2+1

=

5n2

-

5(n-1)2

=

5

，由已知化为a_n-a_n-1=2，利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）b_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用“裂项求和”即可得出．

解答： 解：（1）∵⊙C_n与⊙C_n-1内切，
∴

(an-an-1)2+1

=

5n2

-

5(n-1)2

=

5

，
∵数列{a_n}是正项数列，且首项a₁=1．
∴a_n-a_n-1=2，
∴数列{a_n}是等差数列，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）b_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

．

点评：本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法、两圆相切的性质、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．