Question

设f（x）=log₂（10-ax），其中a为常数，f（3）=2．
（1）求a的值；
（2）若对于任意的x∈[3，4]，不等式f（x）＞2^x+m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）解对数方程，即可得到a=2；
（2）运用参数分离可得m＜log₂（10-2x）-2^x对于任意的x∈[3，4]恒成立．由指数函数和对数函数的单调性，判断y=log₂（10-2x）-2^x在[3，4]递减，可得最小值为-15，只要m小于最小值即可．

解答： 解：（1）由f（x）=log₂（10-ax），f（3）=2，
则log₂（10-3a）=2，即10-3a=4，
解得，a=2；
（2）f（x）=log₂（10-2x），
对于任意的x∈[3，4]，不等式f（x）＞2^x+m恒成立，
即有m＜log₂（10-2x）-2^x对于任意的x∈[3，4]恒成立．
由y=log₂（10-2x）在[3，4]递减，y=-2^x在[3，4]递减，
则y=log₂（10-2x）-2^x在[3，4]递减，
则当x=4时，y=log₂（10-2x）-2^x取得最小值，且为log₂2-2⁴=-15，
则有m＜-15．
故实数m的取值范围是（-∞，-15）．

点评：本题考查函数的单调性和运用，考查不等式的恒成立问题转化为求函数的最值问题，考查运算能力，属于中档题和易错题．