Question

15．已知$tan（{α-β}）=\frac{4}{3}$．
（1）求cos（α-β）的值；
（2）若$0＜α＜\frac{π}{2}，-\frac{π}{2}＜β＜0，sinβ=-\frac{5}{13}$，求sinα的值．

Answer 1

分析 （1）把已知化切为弦，结合平方关系求得cos（α-β）的值；
（2）由已知求出cosβ，再由sinα=sin[（α-β）+β]展开两角和的正弦求解．

解答 解：（1）由$tan（α-β）=\frac{sin（α-β）}{cos（α-β）}=\frac{4}{3}$，
又sin²（α-β）+cos²（α-β）=1，解得$\left\{\begin{array}{l}{sin（α-β）=\frac{4}{5}}\\{cos（α-β）=\frac{3}{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{sin（α-β）=-\frac{4}{5}}\\{cos（α-β）=-\frac{3}{5}}\end{array}\right.$．
∴cos（α-β）=$±\frac{3}{5}$；
（2）∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，$-\frac{π}{2}$＜β＜0，
∴0＜α-β＜π．
又tan（α-β）=$\frac{4}{3}$＞0，∴cos（α-β）=$\frac{3}{5}$．
∴sin（α-β）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α-β）}=\frac{4}{5}$．
又sinβ=$-\frac{5}{13}$，∴cosβ=$\sqrt{1-si{n}^{2}β}=\frac{12}{13}$．
∴sinα=sin[（α-β）+β]=sin（α-β）cosβ+cos（α-β）sinβ=$\frac{4}{5}×\frac{12}{13}+\frac{3}{5}×（-\frac{5}{13}）=\frac{33}{65}$．

点评 本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及两角和的正弦的应用，是中档题．