Question

5．设集合S={1，2，3，4，5}，从S的所有非空子集中随机选出一个，设所取出的非空子集的最大元素为ξ，则ξ的数学期望为$\frac{129}{31}$．

Answer 1

分析 依题意知ξ的所有可能取值为1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，再计算ξ的分布列和数学期望E（ξ）．

解答 解：根据题意，ξ的所有可能取值为1，2，3，4，5；
则P（ξ=1）=$\frac{1}{{2}^{5}-1}$=$\frac{1}{31}$，
P（ξ=2）=$\frac{1+1}{{2}^{5}-1}$=$\frac{2}{31}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{2}^{0}{+C}_{2}^{1}{+C}_{2}^{2}}{{2}^{5}-1}$=$\frac{4}{31}$，
P（ξ=4）=$\frac{{C}_{3}^{0}{+C}_{3}^{1}+…{+C}_{3}^{3}}{{2}^{5}-1}$=$\frac{8}{31}$，
P（ξ=5）=$\frac{{C}_{4}^{0}{+C}_{4}^{1}{+…+C}_{4}^{4}}{{2}^{5}-1}$=$\frac{16}{31}$，
故ξ的分布列为：

ξ	1	2	3	4	5
P	$\frac{1}{31}$	$\frac{2}{31}$	$\frac{4}{31}$	$\frac{8}{31}$	$\frac{16}{31}$

从而E（ξ）=1×$\frac{1}{31}$+2×$\frac{2}{31}$+3×$\frac{4}{31}$+4×$\frac{8}{31}$+5×$\frac{16}{31}$=$\frac{129}{31}$．
故答案为：$\frac{129}{31}$．

点评 本题考查了离散型随机变量的分布列及数学期望的计算问题，是中档题．