题目内容
已知函数f(x)=
，g(x)=asin(
x+
)-2a+2(a＞0)，给出下列结论：
①函数f（x）的值域为[0，
]；
②函数g（x）在[0，1]上是增函数；
③对任意a＞0，方程f（x）=g（x）在[0，1]内恒有解；
④若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是
≤a≤
．
其中所有正确结论的序号是 ．
|
| π |
| 3 |
| 3π |
| 2 |
①函数f（x）的值域为[0，
| 1 |
| 3 |
②函数g（x）在[0，1]上是增函数；
③对任意a＞0，方程f（x）=g（x）在[0，1]内恒有解；
④若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是
| 5 |
| 9 |
| 4 |
| 5 |
其中所有正确结论的序号是
考点：命题的真假判断与应用
专题：函数的性质及应用
分析：①当x∈(
，1]时，利用f（x）=
=1-
单调递增，可得f(
)＜f(x)≤f(1)．
当x∈[0，
]时，函数f（x）=-
x+
，利用一次函数的单调性可得f(
)≤f(x)≤f(0)．
即可得到函数f（x）的值域．
②利用诱导公式可得g（x）=-acos
x-2a+2，利用余弦函数的单调性，进而得出g（x）在[0，1]上单调性．
③由②可知：g（0）≤g（x）≤g（1），若任意a＞0，方程f（x）=g（x）在[0，1]内恒有解，
则必须满足f（x）的值域[0，
]⊆{g（x）|x∈[0，1]}．解出判定即可．
④存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则
解出即可．
| 1 |
| 2 |
| x |
| x+2 |
| 2 |
| x+2 |
| 1 |
| 2 |
当x∈[0，
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
即可得到函数f（x）的值域．
②利用诱导公式可得g（x）=-acos
| π |
| 3 |
③由②可知：g（0）≤g（x）≤g（1），若任意a＞0，方程f（x）=g（x）在[0，1]内恒有解，
则必须满足f（x）的值域[0，
| 1 |
| 3 |
④存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则
|
解答：
解：①当x∈(
，1]时，f（x）=
=1-
单调递增，∴f(
)＜f(x)≤f(1)，即
＜f(x)≤
．
当x∈[0，
]时，由函数f（x）=-
x+
单调递减，∴f(
)≤f(x)≤f(0)，即0≤f(x)≤
．
∴函数f（x）的值域为[0，
]．因此①正确．
②g（x）=-acos
x-2a+2，∵x∈[0，1]，∴0≤
≤
，因此cos
在[0，1]上单调递减，
又a＞0，∴g（x）在[0，1]上单调递增，因此正确．
③由②可知：g（0）≤g（x）≤g（1），∴-3a+2≤g(x)≤-
a+2．
若任意a＞0，方程f（x）=g（x）在[0，1]内恒有解，
则必须满足f（x）的值域[0，
]⊆{g（x）|x∈[0，1]}．
∴-3a+2≤0，-
a+2≥
，解得a=
，因此③不正确；
④存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则
由③可知：g(x)max=g(1)=-
a+2，g（x）min=g（0）=-3a+2，
∴-3a+2≤
，-
a+2≥0，解得
≤a≤
，
∴实数a的取值范围是
≤a≤
．正确．
综上可知：只有①②④正确．
故答案为：①②④．
| 1 |
| 2 |
| x |
| x+2 |
| 2 |
| x+2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 3 |
当x∈[0，
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
∴函数f（x）的值域为[0，
| 1 |
| 3 |
②g（x）=-acos
| π |
| 3 |
| πx |
| 3 |
| π |
| 3 |
| πx |
| 3 |
又a＞0，∴g（x）在[0，1]上单调递增，因此正确．
③由②可知：g（0）≤g（x）≤g（1），∴-3a+2≤g(x)≤-
| 5 |
| 2 |
若任意a＞0，方程f（x）=g（x）在[0，1]内恒有解，
则必须满足f（x）的值域[0，
| 1 |
| 3 |
∴-3a+2≤0，-
| 5 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
④存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则
|
由③可知：g(x)max=g(1)=-
| 5 |
| 2 |
∴-3a+2≤
| 1 |
| 3 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 9 |
| 4 |
| 5 |
∴实数a的取值范围是
| 5 |
| 9 |
| 4 |
| 5 |
综上可知：只有①②④正确．
故答案为：①②④．
点评：本题综合考查了分段函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法等基础知识与基本技能方法，考查了分析问题和解决问题的能力，属于难题．
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+
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| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
A、
| ||||||||
B、
| ||||||||
C、
| ||||||||
D、
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