Question

已知函数F（x）=

f(x)

x

在定义域（0，+∞）内为单调增函数，若f（x）=lnx+ax²，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：F（x）=

f(x)

x

在定义域（0，+∞）内为单调增函数，则F′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，分离参数a≥-

1-lnx

x2

在（0，+∞）恒成立，构造函数g（x）=-

1-lnx

x2

，利用导数求出函数g（x）的最大值即可．

解答： 解：∵f（x）=lnx+ax²，
∴F（x）=

f(x)

x

=

lnx

x

+ax，
∴F′（x）=

f(x)

x

=

1-lnx

x2

+a，
∵F（x）=

f(x)

x

在定义域（0，+∞）内为单调增函数，
∴F′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，
即

1-lnx

x2

+a≥0在（0，+∞）恒成立，
∴a≥-

1-lnx

x2

在（0，+∞）恒成立，
设g（x）=-

1-lnx

x2

，
∴g′（x）=-

2lnx-3

x3

，
令g′（x）=-

2lnx-3

x3

=0，解得x=e

3

2

，
当g′（x）＜0时，即x＞e

3

2

，函数递减，
当g′（x）＞0时，即0＜x＜e

3

2

，函数递增，
故当x=e

3

2

，函数g（x）有最大值，即g（x）_max=g（e

3

2

）=

1

2e3

，
∴a≥

1

2e3

．

点评：本题考查了导数和函数的单调性以及最值的关系，以及函数恒成立的问题，关键是分离参数，求出函数的最最，属于中档题