Question

已知点A（-1，0），B（1，0），直线l：x=-1，P为平面上一动点，设直线PA的斜率为k₁，直线PB的斜率k₂，且k₁•k₂=-1，过P作l的垂线，垂足为Q，则△APQ面积的最大值为

 

．

Answer 1

考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系

专题：三角函数的图像与性质,直线与圆

分析：由已知可得P为以AB为直径的圆上，除AB外的任意点，设P点坐标为（cosx，sinx），x≠kπ，k∈Z，进而可得△APQ面积的最大值．

解答： 解：∵直线PA的斜率为k₁，直线PB的斜率k₂，且k₁•k₂=-1，
∴PA⊥PB，故P为以AB为直径的圆上，除AB外的任意点，
由点A（-1，0），B（1，0），
可得以AB为直径的圆为x²+y²=1，
设P点坐标为（cosx，sinx），x≠kπ，k∈Z，
则Q点的坐标为（-1，sinx），
不妨令P点在第一，二象限，
则△APQ中|PQ|=cosx+1，PQ边上的高为sinx，
故△APQ面积S=

1

2

sinx（cosx+1）=

1

2

（sinxcosx+sinx）=

1

4

sin2x+

1

2

sinx，
∴S′=

1

2

（cos2x+cosx）=

1

2

（2cos²x+cosx-1），
令S′=0，则cosx=

1

2

，或cosx=-1（舍去），
此时x=

π

3

，S取最大值

1

4

sin

2π

3

+

1

2

sin

π

3

=

3 3

8

，
故答案为：

3 3

8

点评：本题考查的知识点是直线垂直的充要条件，三角函数的最值问题，是三角函数与直线和圆的综合应用，难度中档．