Question

已知正项等比数列{a_n}满足a₇=a₆+2a₅．若存在两项a_m，a_n使得

aman

=4a₁，则

1

m

+

9

n

的最小值为（　　）

• A、

  8

  3

• B、

  11

  4

• C、

  17

  6

• D、

  14

  5

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：根据a₇=a₆+2a₅，求出公比的值，利用存在两项a_m，a_n使得

aman

=4a1，写出m，n之间的关系，结合基本不等式得到最小值．

解答： 解：设等比数列的公比为q（q＞0），则
∵a₇=a₆+2a₅，
∴a₅q²=a₅q+2a₅，
∴q²-q-2=0，
∴q=2，
∵存在两项a_m，a_n使得

aman

=4a1，
∴a_ma_n=16a₁²，
∴a₁q^m+n-2=16a₁，
∴q^m+n-2=16，∴2^m+n-2=16，
∴m+n=6
∴

1

m

+

9

n

=

1

6

•（

1

m

+

9

n

）（m+n）=

1

6

(

n

m

+

9m

n

+10)≥

1

6

(2

n m • 9m n

+10)=

1

6

(6+10)=

8

3

上式等号成立时，n²=9m²，即n=3m，而m+n=6，∴m=

3

2

，不成立，
∴m=1、n=5时，∴

1

m

+

9

n

=

14

5

；
∴m=2、n=4时，∴

1

m

+

9

n

=

11

4

；
∴最小值为

11

4

故选B．

点评：本题考查等比数列的通项和基本不等式，实际上应用基本不等式是本题的重点和难点，关键注意当两个数字的和是定值，要求两个变量的倒数之和的最小值时，要乘以两个数字之和．