题目内容
在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在△ABC三边围城的区域（含边界）上．
（1）若
⊥
，
⊥
，求|
|；
（2）设
=m
+n
（m，n∈R）用x，y表示m+n，并求m+n的最小值．
（1）若
| AP |
| BC |
| CP |
| AB |
| OP |
（2）设
| OP |
| AB |
| AC |
考点：平面向量的基本定理及其意义
专题：平面向量及应用
分析：（1）设P坐标，由向量垂直的数量积为0，解除P点坐标，然后求|
|；（2）向设
=m
+n
（m，n∈R）代入坐标，x，y表示m+n，转化为线性规划求解．
| OP |
| OP |
| AB |
| AC |
解答：
解：（1）设P（x，y），
则
=（x-1，y-1），
=（1，-1），
=（x-3，y-2），
=（1，1），
若
⊥
，
⊥
，则有
•
=0且
•
=0
即
，解得x=y=
，则
=（
，
），|
|=
，
（2）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），
∴
=（1，2），
=（2，1），
∵
=m
+n
，
∴（x，y）=（m+2n，2m+n）
∴x=m+2n，y=2m+n
∴m+n=
（x+y），
令y+x=t，得y=-x+t，当直线y=-x+t过点B（2，3）时，t取得最大值，
故m+n的最大值为
．
则
| AP |
| BC |
| CP |
| AB |
若
| AP |
| BC |
| CP |
| AB |
| AP |
| BC |
| CP |
| AB |
即
|
| 5 |
| 2 |
| OP |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| OP |
5
| ||
| 2 |
（2）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），
∴
| AB |
| AC |
∵
| OP |
| AB |
| AC |
∴（x，y）=（m+2n，2m+n）
∴x=m+2n，y=2m+n
∴m+n=
| 1 |
| 3 |
令y+x=t，得y=-x+t，当直线y=-x+t过点B（2，3）时，t取得最大值，
故m+n的最大值为
| 5 |
| 3 |
点评：本题考查了向量的坐标运算，关键在于审清题意，属于中档题．
练习册系列答案
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A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|