Question

若a＞0，f（x）=-2a（

3

sinxcosx+cos²x）+3a+b，当x∈[0，

π

2

]时，-5≤f（x）≤1．
（1）求a，b的值．
（2）设g（x）=f（x+

π

2

），求lg[g（x）-1]的单调区间．

Answer 1

考点：正弦函数的单调性,象限角、轴线角

专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）运用二倍角公式和两角和的正弦公式化简f（x），再由x的范围，求得2x+

π

6

的范围，由正弦函数的性质得到最值，即可求得a，b；
（2）求出g（x），令t=4sin（2x+

π

6

）-2＞0，求出x的范围，再求t的单调区间，由复合函数的单调性：同增异减，即可得到所求区间．

解答： 解：（1）f（x）=-2a（

3

sinxcosx+cos²x）+3a+b
=-a（

3

sin2x+cos2x+1）+3a+b=-2asin（2x+

π

6

）+2a+b，
当x∈[0，

π

2

]时，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
当x=

π

2

时，f（x）取得最大值且为a+2a+b=1，即为3a+b=1，
当x=

π

6

时，f（x）取得最小值且为-2a+2a+b=-5，即为b=-5，
则有a=2，b=-5；
（2）g（x）=f（x+

π

2

）=-4sin（2x+π+

π

6

）-1=4sin（2x+

π

6

）-1，
则y=lg[g（x）-1]=lg[4sin（2x+

π

6

）-2]，
由4sin（2x+

π

6

）-2＞0，即有sin（2x+

π

6

）＞

1

2

，
即

π

6

+2kπ＜2x+

π

6

＜

5π

6

+2kπ，k∈Z，
即有kπ＜x＜kπ+

π

3

，k∈Z．
则t=4sin（2x+

π

6

）-2的增区间为（kπ，kπ+

π

6

），k∈Z，减区间为（kπ+

π

6

，kπ+

π

3

）k∈Z．
由于y=lgt在（0，+∞）上递增，
则有y=lg[g（x）-1]的增区间为（kπ，kπ+

π

6

），减区间为（kπ+

π

6

，kπ+

π

3

）k∈Z．

点评：本题考查三角函数的化简和求值，考查二倍角公式和两角和的正弦公式的运用，考查正弦函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题．