Question

已知P（0，2）已知直线l：y=kx+b与圆C：x²+y²=4相交与A，B两点，当|PA|•|PB|=4时，试证明点P到直线l的距离为定值．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：当|PA|•|PB|=4时，用特殊点法求出点P到直线l的距离，再证明点P到直线l的距离是定值即可．

解答： 解：当|PA|•|PB|=4时，用特殊点法求出点P到直线l的距离为1，如图所示；
现在证明1是点P（0，2）到直线l：y=kx+b=0的距离的定值；
由点P（0，2）到直线l：y=kx+b=0的距离是1，
∴

|-2+b|

1+k2

=1，
∴（b-2）²=1+k²，
∴k²=b²-4b+3；
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由直线l：y=kx+b与圆C：x²+y²=4，消去y，
得x²+（kx+b）²=4
即（k²+1）x²+2kbx+b²-4=0；
∴x₁+x₂=-

2kb

k2+1

，x₁x₂=

b2-4

k2+1

；
∵|PA|•|PB|=4，∴

x12+(y1-2)2

•

x22+(y2-2)2

=4，
∴（x₁²+y₁²-4y₁+4）（x₂²+y₂²-4y₂+4）=16，
∴（4-4y₁+4）（4-4y₂+4）=16，
∴（2-y₁）（2-y₂）=1，
∴y₁y₂-2（y₁+y₂）+3=0；
即（kx₁+b）（kx₂+b）-2（kx₁+b+kx₂+b）+3=0，
k²x₁x₂+（kb-2k）（x₁+x₂）-4b+3=0，
∴k²•

b2-4

k2+1

+（kb-2b）•（-

2kb

k2+1

）-4b+3=0，
化简得k²=b²-4b+3；
即证点P到直线l的距离为定值，且定值为1．

点评：本题考查了直线与圆的应用问题，考查了定值的应用问题，用特殊点法求出点P到直线l的距离，再证明点P到直线l的距离是定值是关键．