Question

16．如图，已知四棱锥P-ABCD，侧面PAD是正三角形，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，设平面PAD∩平面PBC=l．
（Ⅰ）求证：l∥平面ABCD；
（Ⅱ）求证：PB⊥BC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知利用线面平行的判定可证BC∥平面PAD，利用线面平行的性质可证BC∥l，进而利用线面平行的判定证明l∥平面ABCD．
（Ⅱ）取AD中点O，连OP、OB，由已知得：OP⊥AD，OB⊥AD，利用线面垂直的判定可证AD⊥平面POB，由BC∥AD，可证BC⊥平面POB，利用线面垂直的性质即可证明BC⊥PB．

解答 （本题满分为12分）
证明：（Ⅰ）∵BC?平面PAD，AD?平面PAD，AD∥BC，
∴BC∥平面PAD…（2分）
又BC?平面PBC，平面PAD∩平面PBC=l，
∴BC∥l．…（4分）
又∵l?平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴l∥平面ABCD．…（6分）
（Ⅱ）取AD中点O，连OP、OB，
由已知得：OP⊥AD，OB⊥AD，
又∵OP∩OB=O，
∴AD⊥平面POB，…（10分）
∵BC∥AD，
∴BC⊥平面POB，
∵PB?平面POB，
∴BC⊥PB．…（12分）

点评 本题主要考查了线面平行的判定与性质，线面垂直的判定与性质，考查了数形结合思想，空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．