Question

已知f（x）=aln（x+1）+

1

x+1

+3x-1．
（1）若x≥0时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；
（2）求证：

2

4×12-1

+

3

4×22-1

+

4

4×32-1

+…+

n+1

4×n2-1

＞

1

4

ln（2n+1）对一切正整数n均成立．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：选作题,不等式

分析：（1）求导数，分类讨论，确定函数的单调性，即可求实数a的取值范围；
（2）由（1）知，x＞0时，不等式-2ln(x+1)+

1

x+1

+3x-1＞0恒成立，则x＞0时，

1

x+1

+3x-1＞2ln(x+1)恒成立．令x=

2

2k-1

（k∈N^*），

k+1

4k2-1

＞

1

4

ln

2k+1

2k-1

．令k=1，2，3，…，n，叠加，即可证明结论．

解答： （1）解：f′(x)=

a

x+1

-

1

(x+1)2

+3=

3(x+1)2+a(x+1)-1

(x+1)2

=

3x2+(a+6)x+a+2

(x+1)2

．
若a≥-2，则a+6＞0，x＞0时，f'（x）＞0．此时，f（x）在区间[0，+∞）上为增函数．
∴x≥0时，f（x）≥f（0）=0．a≥-2符合要求．
若a＜-2，则方程3x²+（a+6）x+a+2=0有两个异号的实根，设这两个实根为x₁，x₂，且x₁＜0＜x₂．
∴0＜x＜x₂时，f'（x）＜0．f（x）在区间[0，x₂]上为减函数，f（x₂）＜f（0）=0．
∴a＜-2不符合要求．
∴a的取值范围为[-2，+∞）．
（2）证明：由（1）知，x＞0时，不等式-2ln(x+1)+

1

x+1

+3x-1＞0恒成立．
∴x＞0时，

1

x+1

+3x-1＞2ln(x+1)恒成立．
令x=

2

2k-1

（k∈N^*），得

1

2 2k-1 +1

+3×

2

2k-1

-1＞2ln(

2

2k-1

+1)，
整理得 

8k+8

4k2-1

＞2ln

2k+1

2k-1

．
∴

k+1

4k2-1

＞

1

4

ln

2k+1

2k-1

．令k=1，2，3，…，n，得

2

4×12-1

＞

1

4

ln

3

1

，

3

4×22-1

＞

1

4

ln

5

3

，

4

4×32-1

＞

1

4

ln

7

5

，…，

n+1

4×n2-1

＞

1

4

ln

2n+1

2n-1

．
将上述n个不等式的左右两边分别相加，得

2

4×12-1

+

3

4×22-1

+

4

4×32-1

+…+

n+1

4×n2-1

＞

1

4

ln(

3

1

×

5

3

×

7

5

×…×

2n+1

2n-1

)=

1

4

ln(2n+1)．
∴

2

4×12-1

+

3

4×22-1

+

4

4×32-1

+…+

n+1

4×n2-1

＞

1

4

ln(2n+1)对一切正整数n均成立．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，巧妙利用两小题之间的关系，是解题的关键．