Question

已知向量

a

=（

3

，-2），

b

=（2sinxcosx，cos²x-

1

2

），函数f（x）=

a

•

b

．
（Ⅰ）若f（x）=0，求x的值．
（Ⅱ）当x∈[0，π]时，求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的单调性

专题：三角函数的求值

分析：（1）由向量数量积的运算和三角函数公式化简可得f（x）=2sin（2x-

π

6

），由2x-

π

6

=kπ解方程可得；
（2）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

解不等式可得单调递增区间和[0，π]取交集即可．

解答： 解：（1）∵

a

=（

3

，-2），

b

=（2sinxcosx，cos²x-

1

2

），
∴f(x)=

a

•

b

=2

3

sinxcosx-2（cos²x-

1

2

）
=

3

sin2x-cos2x=2（

3

2

sin2x-

1

2

cos2x）=2sin（2x-

π

6

），
由f（x）=0可得2x-

π

6

=kπ，解得x=

kπ

2

+

π

12

，k∈Z；
（2）由（1）知f（x）=2sin（2x-

π

6

），
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

可得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z
又∵x∈[0，π]，∴f（x）的单调递增区间是[0，

π

3

]，[

5π

6

，π]．

点评：本题考查两角和与差的正弦函数，涉及三角函数的单调性，属基础题．