Question

已知向量

a

，

b

为单位向量，且

a

•

b

=-

1

2

，向量

c

与

a

+

b

共线，则|

a

+

c

|的最小值为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：向量

a

，

b

为单位向量，且

a

•

b

=-

1

2

，可得＜

a

，

b

＞=120°．不妨取

a

=（1，0），

b

=(-

1

2

，

3

2

)．由向量

c

与

a

+

b

共线，可得

c

=λ(

a

+

b

)=(

1

2

λ，

3

2

λ)．再利用数量积运算性质、二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：∵向量

a

，

b

为单位向量，且

a

•

b

=-

1

2

，
∴1×1×cos＜

a

，

b

＞=-

1

2

，
∴＜

a

，

b

＞=120°．
不妨取

a

=（1，0），

b

=(-

1

2

，

3

2

)．
∴

a

+

b

=(

1

2

，

3

2

)．
∵向量

c

与

a

+

b

共线，
∴

c

=λ(

a

+

b

)=(

1

2

λ，

3

2

λ)．
∴

a

+

c

=(

1

2

λ+1，

3

2

λ)．
∴|

a

+

c

|=

( 1 2 λ+1)2+( 3 2 λ)2

=

(λ+ 1 2 )2+ 3 4

≥

3

2

，当且仅当λ=-

1

2

时取等号．
∴|

a

+

c

|的最小值为

3

2

．
故答案为：

3

2

．

点评：本题考查了数量积定义及其运算性质、二次函数的单调性，考查了计算能力，属于中档题．