Question

已知S_n是数列{a_n}的前n项和，且a₁=1，na_n+1=2S_n（n∈N^*），数列{b_n}为等比数列，且满足b₁=a₂，2b₃=b₄．
（1）求a₂的值；
（2）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（3）求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由a1=1，nan+1=2Sn(n∈N*)，取n=1，能求出a₂=2．
（2）当n≥2时，由na_n+1=2S_n，得（n-1）a_n=2S_n-1，故

an+1

an

=

n+1

n

，利用累乘法得an=n(n∈N*)．已知b₁=a₂=2，由2b₃=b₄，得q=2，从而得到bn=2n．
（3）a_n•b_n=n•2ⁿ，由此利用错位相减法能求出数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

解答： （本小题满分14分）
解：（1）∵a1=1，nan+1=2Sn(n∈N*)，
∴a₂=2S₁=2a₁=2．（2分）
（2）当n≥2时，由na_n+1=2S_n，得（n-1）a_n=2S_n-1（3分）
两式相减，得na_n+1-（n-1）a_n=2（S_n-S_n-1），
即：na_n+1=（n+1）a_n，
∴

an+1

an

=

n+1

n

（4分）
∴a₂=2，

a3

a2

=

3

2

，

a4

a3

=

4

3

，…，

an

an-1

=

n

n-1

，
以上（n-1）个式子相乘得an=2×

3

2

×

4

3

×…×

n-1

n-2

×

n

n-1

=n（n≥3），（5分）
又a₁=1，a₂=2，∴an=n(n∈N*)（6分）
由已知b₁=a₂=2，设等比数列{b_n}的公比为q，
由2b₃=b₄，得

b4

b3

=2，即q=2（7分）
故bn=2n（8分）
（3）设数列{a_n•b_n}的前n项和T_n，
则Tn=1×2+2×22+3×23+…+n•2n（9分）2Tn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)•2n+n•2n+1（11分）
两式相减得-Tn=2+22+23+…+2n-n•2n+1（12分）
=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1（13分）
=-（n-1）•2ⁿ⁺¹-2．
故Tn=(n-1)•2n+1+2．（14分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．