Question

2．已知sinx+cosx=$\frac{1}{5}$，（-$\frac{π}{2}$＜x＜0），求$\frac{3si{n}^{2}\frac{x}{2}-2cos\frac{x}{2}sin\frac{x}{2}+co{s}^{2}\frac{x}{2}}{sinx-cosx}$的值．

Answer 1

分析 将sinx+cosx=$\frac{1}{5}$两边平方后，利用平方关系化简求出sin2x，由x的范围和条件求出sinx-cosx，利用二倍角公式、平方关系化简所求的式子，把数据代入求值即可．

解答 解：由题意得，sinx+cosx=$\frac{1}{5}$，
两边平方得，sin2x=$-\frac{24}{25}$，
∵-$\frac{π}{2}$＜x＜0，∴sinx-cosx=$-\sqrt{（sinx-cosx）^{2}}$
=$-\sqrt{1-sin2x}$=$-\frac{7}{5}$，
∴$\frac{3si{n}^{2}\frac{x}{2}-2cos\frac{x}{2}sin\frac{x}{2}+co{s}^{2}\frac{x}{2}}{sinx-cosx}$=$\frac{1+2si{n}^{2}\frac{x}{2}-sinx}{sinx-cosx}$
=$\frac{2-cosx-sinx}{sinx-cosx}$=$\frac{2-\frac{1}{5}}{-\frac{7}{5}}$=$-\frac{9}{7}$．

点评 本题考查二倍角公式、平方关系的应用，以及（sinx+cosx）、（sinx-cosx）与sin2x之间的关系，考查化简、变形能力，注意角的范围．