Question

12．已知椭圆C的焦点在x轴上，离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，其长轴的左端点到左焦点的距离为2-$\sqrt{2}$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线l为圆x²+y²=1上的一条切线，交椭圆C于A，B两点，求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：$\left\{\begin{array}{l}{a-c=2-\sqrt{2}}\\{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，求得a及c的值，由a²=b²+c²，即可求得b的值，求得椭圆C的标准方程；
（2）分类讨论，当斜率不存在时，求得A和B点坐标，即可求得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的值，当斜率存在，设出直线方程，由直线l与圆x²+y²=1相切，求得n与k的关系，并将直线方程代入椭圆方程，根据韦达定理求得x₁+x₂和x₁•x₂，并求得y₁•y₂，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁•y₂，代入即可求得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的取值范围．

解答 解：（1）由题意可知：$\left\{\begin{array}{l}{a-c=2-\sqrt{2}}\\{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，c=$\sqrt{2}$，
由a²=b²+c²，
∴b=$\sqrt{2}$，
故椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）当直线斜率不存在时，l：x=±1，A（1，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$），B（1，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）
或A（-1，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$），B（-1，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=1-$\frac{3}{2}$=-$\frac{1}{2}$，
当直线斜率存在时，设直线方程l：y=kx+n，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵直线AB与圆x²+b²=1相切，
∴$\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$•丨n丨=1，解得n²=1+k²，
将直线方程代入椭圆方程整理得：（1+2k²）x²+4knx+2n²-4=0，
由韦达定理可知：x₁+x₂=$\frac{-4kn}{1+2{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{2{n}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，
∴y₁•y₂=k²x₁•x₂+kn（x₁+x₂）+n²，
$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁•y₂，
=（1+k²）x₁•x₂+kn（x₁+x₂）+n²，
=$\frac{3{n}^{2}-4{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，
=-$\frac{{k}^{2}+1}{2{k}^{2}+1}$，
=$\frac{1}{\frac{1}{1+{k}^{2}}-2}$∈[-1，-$\frac{1}{2}$），
综上可知：$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的取值范围∈[-1，-$\frac{1}{2}$]．

点评 本题主要考查了利用椭圆的性质求解椭圆方程，直线与圆的位置关系，直线与椭圆的相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用，考查计算能力，属于中档题．