Question

已知圆C经过三点O（0，0），A（1，3），B（4，0）．直线l过点P（3，6），且被圆C截得弦长为4，则直线l的方程为

 

．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：求出圆的一般方程，根据直线和圆相交的弦长公式进行求解即可．

解答： 解：设圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0．
∵圆C经过三个点O（0，0）A（1，3）B（4，0），
∴

F=0 1+9+D+3E+F=0 16+4D+F=0

解得D=-4，E=-2，F=0，
即圆C的方程x²+y²-4x-2y=0．
则圆的标准方程为（x-2）²+（y-1）²=5，圆心C坐标为（2，1），半径R=

5

，
∵直线l过点P（3，6），且被圆C截得弦长为4，
∴

R2-22

=

5-4

=1，
①过点P（3，6）且被圆C截得弦长为4的直线的斜率不存在，此时x=3，满足题意．
②当过点P（3，6）且被圆C截得弦长为4的直线的斜率存在时设为k，
直线方程为y-6=k（x-3）．即kx-y+6-3k=0，
则圆心到直线的距离d=

|2k-1+6-3k|

1+k2

=

|5-k|

1+k2

=

5

，
解得k=

12

5

，所求直线方程为：12x-5y-6=0．
故所求直线方程为：x=3或12x-5y-6=0．
故答案为：x=3或12x-5y-6=0

点评：本题考查圆的一般式方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，利用待定系数法以及圆心到直线的距离d与半径之间的关系是解决本题的关键．考查计算能力．