Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n满足点（n，S_n）在函数f（x）=x²-8x图象上，{b_n}为等比数列，且b₁=a₅，b₂+a₃=-1
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由点（n，s_n）在函数f（x）=x²-8x的图象上得到数列递推式S_n=n²-8n，由a_n=s_n-s_n-1=求得数列的通项公式．再由数列{b_n}为等比数列，b₁=a₅=1，b₂=2求得公比，代入等比数列的通项公式求得b_n；
（2）把b_n=2^n-1代入c_n=n•b_n，然后由错位相减法求得数列的前项n和T_n．

解答： 解：（1）∵点（n，s_n）在函数f（x）=x²-8x的图象上，
∴S_n=n²-8n，
当n=1时，a₁=s₁=-7，
当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=（n²-8n）-[（n+1）²-8（n+1）]=2n-9，
而a₁=-7满足上式，
∴a_n=2n-9．
∵数列{b_n}为等比数列，b₁=a₅=1，b₂=2，
∴q=2，则b_n=2^n-1；
（2）c_n=n•b_n=n•2^n-1，
T_n=c₁+c₂+…+c_n
=1•2⁰+2•2¹+3•2²+…+（n-1）•2^n-2+n•2^n-1．
2Tn=1•21+2•22+3•23+…+(n-2)•2n-2+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ．
两式相减得：-Tn=2n-1-n•2n．
∴Tn=(n-1)•2n+1．

点评：本题考查了数列的函数特性，考查了由数列的前n项和求数列的通项公式，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．