Question

设a+b=3，b＞0，则当a=

 

时，

1

3|a|

+

|a|

b

取得最小值．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：需要分类讨论，当0＜a＜3和当a＜0，利用基本不等式即可得到结论

解答： 解：∵a+b=3，b＞0，
∴b=3-a＞0，即a＜3，
当0＜a＜3时，

1

3|a|

+

|a|

b

=

a+b

9a

+

a

b

=

1

9

+

b

9a

+

a

b

≥

1

9

+2

b 9a • a b

=

1

9

+

2

3

=

7

9

，当且仅当a=

3

4

取等号，
故当a=

3

4

时，

1

3|a|

+

|a|

b

取得最小值；
当a＜0时，

1

3|a|

+

|a|

b

=-

a+b

9a

-

a

b

=-

1

9

-

b

9a

-

a

b

≥-

1

9

+2

b -9a • -a b

=-

1

9

+

2

3

=

5

9

，当且仅当a=-

3

2

取等号，
故当a=-

3

2

时，

1

3|a|

+

|a|

b

取得最小值；
综上所述a的值为-

3

2

时，

1

3|a|

+

|a|

b

取得最小值．
故答案为：-

3

2

．

点评：本题考查了基本不等式的应用，需要分类讨论，属于中档题