Question

8．已知抛物线y²=2px（p＞0），过点T（p，0）且斜率为1的直线与抛物线交于A，B两点，则直线OA，OB的斜率之积为（O为坐标原点）-2．

Answer 1

分析 求出AB的方程，联立直线与抛物线方程，设出AB坐标，然后求解直线的斜率乘积，推出结果．

解答 解：依题意过点T（p，0）且斜率为1的直线与抛物线交于A，B两点，直线AB：y=x-p，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-p}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，消去x得：y²-2py-2p²=0，
设A（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}$，y₁），B（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}$，y₂），则有y₁y₂=-2p²．
∴k_OA•k_OB=$\frac{{y}_{1}}{\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}}•\frac{{y}_{2}}{\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}}$=$\frac{4{p}^{2}}{{y}_{1}{y}_{2}}$=-2．
故答案为：-2．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．