Question

11．求下列函数的最值：
（1）已知x＞0，求$y=2-x-\frac{4}{x}$的最大值；
（2）已知$0＜x＜\frac{1}{2}$，求$y=\frac{1}{2}x（1-2x）$的最大值．

Answer 1

分析 （1）由$y=2-x-\frac{4}{x}$=2-（x+$\frac{4}{x}$），运用基本不等式即可得到所求最大值；
（2）由$0＜x＜\frac{1}{2}$，可得2x＞0，1-2x＞0，$y=\frac{1}{2}x（1-2x）$=$\frac{1}{4}$•2x（1-2x），运用基本不等式的变形，即可得到所求最大值．

解答 解：（1）x＞0，
$y=2-x-\frac{4}{x}$=2-（x+$\frac{4}{x}$）≤2-2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=2-4=-2，
当且仅当x=2时，函数y取得最大值-2；
（2）由$0＜x＜\frac{1}{2}$，可得2x＞0，1-2x＞0，
$y=\frac{1}{2}x（1-2x）$=$\frac{1}{4}$•2x（1-2x）≤$\frac{1}{4}$•（$\frac{2x+1-2x}{2}$）²=$\frac{1}{16}$，
当且仅当2x=1-2x，即x=$\frac{1}{4}$时，函数y取得最大值$\frac{1}{16}$．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用基本不等式和变形，考查运算能力，属于中档题．