Question

15．函数f（x）=（x²+ax-1）e^x的一个极值点为x=1，则f（x）的极大值为（　　）

• A． -1
• B． -2e^-2
• C． 5e^-2
• D． 1

Answer 1

分析 由x=1是函数f（x）=（x²+ax-1）e^x（x∈R）的一个极值点，f′（1）=0，得到b，即可求得函数解析式，利用导数求出单调性，从而求得极大值．

解答 解：f′（x）=[x²+（a+2）x+a-1]e^x
由f′（1）=0得a=-1，即f（x）=（x²-x-1）e^x
∴f′（x）=[x²+x-2]e^x
令f′（x）=（x²+x-2）e^x≥0，得x≤-2或x≥1；
令f′（x）=（x²-x-1）e^x＜0，得-2＜x＜1；
故：f（x）=（x²-x-1）e^x，单调增区间是（-∞，-2]，[1，+∞），单调减区间是（-2，1）．
∴f（x）的极大值为f（-2）=5e^-2，
故选：C

点评 考查函数在某点取得极值的条件、导数与单调性，属于中档题．