题目内容
4．已知数列{an}，{bn}满足2Sn=（an+2）bn，其中Sn是数列{an}的前n项和．（1）若数列{an}是首项为$\frac{2}{3}$，公比为$-\frac{1}{3}$的等比数列，求数列{bn}的通项公式；
（2）若bn=n，a2=3，求数列{an}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，设${c_n}=\frac{a_n}{b_n}$，求证：数列{cn}中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积．
分析 （1）利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．
（2）利用等差数列的通项公式、递推关系即可得出；
（3）由（2）得${c_n}=\frac{n+1}{n}$，对于给定的n∈N*，若存在k，t≠n，k，t∈N*，使得cn=ck•ct，只需$\frac{n+1}{n}=\frac{k+1}{k}•\frac{t+1}{t}$，即可证明．
解答 解：（1）∵${a_n}=\frac{2}{3}{（-\frac{1}{3}）^{n-1}}=-2{（-\frac{1}{3}）^n}$，Sn=$\frac{\frac{2}{3}[1-（-\frac{1}{3}）^{n}]}{1-（-\frac{1}{3}）}$=$\frac{1}{2}[1-（-\frac{1}{3}）^{n}]$．…（2分）
∴${b_n}=\frac{{2{S_n}}}{{{a_n}+2}}=\frac{{1-{{（-\frac{1}{3}）}^n}}}{{-2{{（-\frac{1}{3}）}^n}+2}}=\frac{1}{2}$．…（4分）
（2）若bn=n，则2Sn=nan+2n，∴2Sn+1=（n+1）an+1+2，
两式相减得2an+1=（n+1）an+1-nan+2，即nan=（n-1）an+1+2，
当n≥2时，（n-1）an-1=（n-2）an+2，
两式相减得（n-1）an-1+（n-1）an+1=2（n-1）an，即an-1+an+1=2an，…（8分）
又由2S1=a1+2，2S2=2a2+4得a1=2，a2=3，
所以数列{an}是首项为2，公差为3-2=1的等差数列，
故数列{an}的通项公式是an=n+1．…（10分）
（3）证明：由（2）得${c_n}=\frac{n+1}{n}$，
对于给定的n∈N*，若存在k，t≠n，k，t∈N*，使得cn=ck•ct，
只需$\frac{n+1}{n}=\frac{k+1}{k}•\frac{t+1}{t}$，
即$1+\frac{1}{n}=（1+\frac{1}{k}）•（1+\frac{1}{t}）$，即$\frac{1}{n}=\frac{1}{k}+\frac{1}{t}+\frac{1}{kt}$，则$t=\frac{n（k+1）}{k-n}$，…（12分）
取k=n+1，则t=n（n+2），
∴对数列{cn}中的任意一项${c_n}=\frac{n+1}{n}$，都存在${c_{n+1}}=\frac{n+2}{n+1}$和${c_{{n^2}+2n}}=\frac{{{n^2}+2n+1}}{{{n^2}+2n}}$使得${c_n}={c_{n+1}}•{c_{{n^2}+2n}}$． …（16分）
点评 本题考查了递推关系、等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，C1C⊥平面ABC，∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是$\frac{\sqrt{6}}{6}$．