Question

16．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC、DC上，$\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{DF}，\overrightarrow{BE}=λ\overrightarrow{CE}$．若$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}=1$，则实数λ的值为-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义由若$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}=1$，求得．

解答 解：∵$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{λ}{λ-1}$$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DF}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DC}$，
∴$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$=（$\overrightarrow{AB}$+$\frac{λ}{λ-1}$$\overrightarrow{BC}$）（$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DC}$），
=$\overline{AB}$•$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{DC}$+$\frac{λ}{λ-1}$$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{AD}$+$\frac{λ}{λ-1}$$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{DC}$，
=|$\overline{AB}$|•|$\overrightarrow{AD}$|cos120°+$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{DC}$|cos0°+$\frac{λ}{λ-1}$|$\overrightarrow{BC}$|•|$\overrightarrow{AD}$|cos0°+$\frac{1}{2}•$$\frac{λ}{λ-1}$|$\overrightarrow{BC}$|•|$\overrightarrow{DC}$|cos120°，
=2×2×（-$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{2}$×2×2×1+$\frac{λ}{λ-1}$×2×2×1+$\frac{1}{2}•$$\frac{λ}{λ-1}$×2×2×（-$\frac{1}{2}$）
=$\frac{3λ}{λ-1}$=1，
解得λ=-$\frac{1}{2}$，
故答案为：-$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题．