Question

如图，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的长轴长为4，不过原点O的斜率为-

3

2

的直线l与椭圆C相交于A、B两点，已知点P（2，1）且直线OP平分线段AB．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求△OAB面积取最大值时直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知设直线l的方程为y=-

3

2

x+n，由题意a=2，联立

x2 4 + y2 b2 =1 y=- 3 2 x+n

，得（b²+9）x²-12nx+4n²-4b²=0，直线OP：x=2y，由直线OP平分线段AB解得b²=3．由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）O到直线y=-

3

2

x+n的距离d=

|n|

9 4 +1

，|AB|=

1+ 9 4

•

n2- 4n2-12 3

，△OAB面积S=

3

3

•

12n2-n4

，由此能求出△OAB面积取最大值时直线l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）由已知设直线l的方程为y=-

3

2

x+n，
由题意2a=4，解得a=2，
联立

x2 4 + y2 b2 =1 y=- 3 2 x+n

，得（b²+9）x²-12nx+4n²-4b²=0，
△＞0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

12n

b2+9

，x1x2=

4n2-4b2

b2+9

，
y₁+y₂=-

3

2

（x₁+x₂）+2n=-

18n

b2+9

+2n，
∵点P（2，1），∴直线OP：x=2y，
∵且直线OP平分线段AB，∴

x1+x2

2

=y1+y2，
即

6n

b2+9

=-

18n

b2+9

+2n，解得b²=3．
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）原点O到直线y=-

3

2

x+n的距离d=

|n|

9 4 +1

，
x1+x2=

12n

b2+9

=n，x1x2=

4n2-4b2

b2+9

=

n2-3

3

，
|AB|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+ 9 4

•

n2- 4n2-12 3

，
∴△OAB面积S=

1

2

|AB|d=|n|•

n2- 4n2-12 3

=

3

3

•

12n2-n4

，
∴当n=

6

时，△OAB面积S取最大值．
∴△OAB面积取最大值时直线l的方程为y=-

3

2

x+

6

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积最大时直线方程的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．