Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=3，BC=2，D是BC的中点，F是C₁C上一点．
（1）当CF=2，求证：B₁F⊥平面ADF；
（2）若FD⊥B₁D，求三棱锥B₁-ADF体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）证明B₁F与两线AD，DF垂直，利用线面垂直的判定定理得出B₁F⊥平面ADF；
（2）若FD⊥B₁D，则Rt△CDF∽Rt△BB₁D，可求DF，即可求三棱锥B₁-ADF体积．

解答： （1）证明：∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC．
在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵B₁B⊥底面ABC，AD?底面ABC，∴AD⊥B₁B．
∵BC∩B₁B=B，∴AD⊥平面B₁BCC₁．
∵B₁F?平面B₁BCC₁，∴AD⊥B₁F．-------------（3分）
在矩形B₁BCC₁中，∵C₁F=CD=1，B₁C₁=CF=2，
∴Rt△DCF≌Rt△FC₁B₁．
∴∠CFD=∠C₁B₁F．∴∠B₁FD=90°，∴B₁F⊥FD．
∵AD∩FD=D，∴B₁F⊥平面ADF．-------------（6分）
（2）解：∵AD⊥面B₁DF，AD=2

2

，
又B1D=

10

，CD=1，-------------（8分）
∵FD⊥B₁D，∴Rt△CDF∽Rt△BB₁D，
∴

DF

B1D

=

CD

BB1

．
∴DF=

1

3

×

10

=

10

3

-------------（10分）
∴VB1-ADF=

1

3

S△B1DF•AD=

1

3

×

1

2

×

10

3

×

10

×2

2

=

10 2

9

．-------------（12分）

点评：本题考查了用线面垂直的判定定理证明线面垂直，考查三棱锥B₁-ADF体积，属于中档题．