题目内容

某工厂为扩大生产规模，2014年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加，第1年的维护费用是4万元，从第2年到第7年，每年的维护费用均比上年增加2万元，从第8年开始，每年的维护费用比上年增加25%．
（1）设该生产线第n年的维护费用为an，求an的表达式；
（2）设该生产线前n年维护费用总和为Sn，求该生产线前n年平均维护费用的表达式．
考点：数列与函数的综合
专题：等差数列与等比数列
分析：（1）根据题意可得当n≤7时，{an}组成以4为首项，2为公差的等差数列，当n＞7时，{an}组成以a7=16为首项，1+25%=
5
4
为公差的等比数列，从而可求an
（2）利用（1）的结论，结合等差（等比）数列的求和公式，由此即可求得该生产线前n年维护费．
解答： 解：（1）由题意知，当n≤7时，{an}组成以4为首项，2为公差的等差数列，
∴an=2n+2，
当n＞7时，{an}组成以a7=16为首项，1+25%=
5
4
为公差的等比数列，
∴an=16×（
5
4
）n-7，
∴an=
16•(
5
4
)n-7，n≥8
2n+2，n≤7
；
（2）当n≤7时，Sn=4n+
n(n-1)
2
×2=n2+3n，
当n＞7时，Sn=70+16×
5
4
×
1-(
5
4
)n-7
1-
5
4
=80×（
5
4
）n-7-10．
∴该生产线前n年维护费为Sn=
n2+3n，n≤7
80(
5
4
)n-7-10，n≥8
．
点评：本题考查数列的应用，考查分段函数，解题的关键是构建等差数列、等比数列模型，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x=
π
3
成轴对称图形的（　　）
A、y=sin（2x-
π
3
）
B、y=sin（2x+
π
6
）
C、y=sin（2x-
π
6
）
D、y=sin（
1
2
x+
π
6
）
直线xcosα+ysinα+1=0，α∈（0，
π
2
）的倾斜角为（　　）
A、α
B、
π
2
+α
C、π-α
D、
π
2
-α
已知以点C（1，-2）为圆心的圆与直线x+y-1=0相切．
（1）求圆C的标准方程；
（2）求过圆内一点P（2，-
5
2
）的最短弦所在直线的方程．
已知a，b为常数，a≠0，函数f（x）=ax2+bx（x∈R），f（2）=0，且方程f（x）=x有等根．
（1）求f（x）的解析式及值域；
（2）设集合A={x|f（x）+k＞0}，B={x|-2≤x≤3}，若A⊆B，求实数k的取值范围；
（3）是否存在实数m，n，使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[2m，2n]？若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．
如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，SA⊥平面ABCD，且AD∥BC，AB⊥AD，BC=2AD=2，AB=AS=
2
．
（Ⅰ）求证：SB⊥BC；
（Ⅱ）求点A到平面SBC的距离；
（Ⅲ）求面SAB与面SCD所成二面角的大小．
如图，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长为4，不过原点O的斜率为-
3
2
的直线l与椭圆C相交于A、B两点，已知点P（2，1）且直线OP平分线段AB．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求△OAB面积取最大值时直线l的方程．
已知函数f（x）=
2x+3
3x
，数列{an}满足a1=1，an+1=f（
1
an
）
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn=
1
anan+1
，求数列{bn}的前n项和Tn．
如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=BC1=2，∠AA1C1=60°，平面ABC1⊥平面AA1C1C，AC1与A1C相交于点D．
（1）求证：BD⊥平面AA1C1；
（2）（文）设点E是直线B1C1上一点，且DE∥平面AA1B1B，求四棱锥E-AA1C1C的体积．

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