Question

若x＞0，y＞0，且ln3^x+ln27^y=ln3，则

3

x

+

1

y

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：对数的运算性质,基本不等式

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：由对数等式得到x+3y=1，把

3

x

+

1

y

化为（

3

x

+

1

y

）（x+3y），展开后利用基本不等式求最值．

解答： 解：由ln3^x+ln27^y=ln3，得
ln（3^x•27^y）=ln3，即3^x+3y=3，x+3y=1．
又x＞0，y＞0，
∴

3

x

+

1

y

=（

3

x

+

1

y

）（x+3y）=6+

9y

x

+

x

y

≥6+2

9y x • x y

=12．
当且仅当

x+3y=1 x2=9y2 x＞0，y＞0

，即x=

1

2

，y=

1

6

时上式等号成立．
∴

3

x

+

1

y

的最小值为12．
故答案为：12．

点评：本题考查了对数的运算性质，训练了利用基本不等式求最值，关键在于对“1”的灵活运用，是中低档题．