Question

已知等比数列{a_n}满足a_n＋1＋a_n＝9·2^n－1，n∈N^*.

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)设数列{a_n}的前n项和为S_n，若不等式S_n＞ka_n－2对一切n∈N^*恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

 (1)设等比数列{a_n}的公比为q，

∵ a_n＋1＋a_n＝9·2^n－1，n∈N^*，∴ a₂＋a₁＝9，a₃＋a₂＝18，

∴ q＝＝＝2，

∴ 2a₁＋a₁＝9，∴ a₁＝3.

∴ a_n＝3·2^n－1，n∈N^*.

(2)由(1)，知S_n＝＝3(2ⁿ－1)，

∴ 不等式3(2ⁿ－1)＞k·3·2^n－1－2，

即k＜2－对一切n∈N^*恒成立．

令f(n)＝2－，则f(n)随n的增大而增大，

∴ f(n)_min＝f(1)＝2－＝，∴ k＜.

∴ 实数k的取值范围为.