Question

4．椭圆$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M、N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• B． $\frac{6\sqrt{5}}{5}$
• C． $\frac{8\sqrt{5}}{5}$
• D． $\frac{4\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 设右焦点为F′，连接MF′，NF′，由于|MF′|+|NF′|≥|MN|，可得当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大．c=$\sqrt{5-4}$=1．把c=1代入椭圆标准方程可得：$\frac{1}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，解得y，即可得出此时△FMN的面积S．

解答 解：设右焦点为F′，连接MF′，NF′，∵|MF′|+|NF′|≥|MN|，
∴当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大．
由椭圆的定义可得：△FMN的周长的最大值=4a=4$\sqrt{5}$．
c=$\sqrt{5-4}$=1．
把c=1代入椭圆标准方程可得：$\frac{1}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，解得y=±$\frac{4}{\sqrt{5}}$．
∴此时△FMN的面积S=$\frac{1}{2}×2×2×\frac{4}{\sqrt{5}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．
故选：C．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、三角形的三边大小关系与三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．