Question

10．已知{a_n}是等比数列，a_n＞0，a₃=12，且a₂，a₄，a₂+36成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设{b_n}是等差数列，且b₃=a₃，b₉=a₅，求b₃+b₅+b₇+…+b_2n+1．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用等比数列与等差数列的通项公式、求和公式即可得出．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，
∵a_n＞0，可得q＞0．
∵a₂，a₄，a₂+36成等差数列．∴2a₄=a₂+a₂+36，
∴2a₃q=2$\frac{{a}_{3}}{q}$+36，即2×12q=2×$\frac{12}{q}$+36，化为：2q²-3q-2=0，
解得q=2．
∴${a}_{1}×{2}^{2}$=12，解得a₁=3．
∴a_n=3×2^n-1．
（2）由（1）可得：
b₃=a₃=12，b₉=a₅=3×2⁴=48．
设等差数列{b_n}的公差为d，则b₁+2d=12，b₁+8d=48，
解得b₁=0，d=6．
∴b_n=6（n-1）．
∴b_2n+1=12n．
∴b₃+b₅+b₇+…+b_2n+1=12×$\frac{n（n+1）}{2}$=6n²+6n．

点评 本题考查了等差数列与等比数列与等差数列的通项公式、求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．