题目内容
10．已知a1=1，an+1=$\frac{{a}_{n}}{3{a}_{n}+1}$，则数列{an}的通项为an=$\frac{1}{3n-2}$．分析 将递推关系通过取倒数变形，数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项，以3为公差的等差数列，利用等差数列的通项公式求出，进一步求出an．
解答 解：∵an+1=$\frac{{a}_{n}}{3{a}_{n}+1}$，
即3an+1an+an+1=an，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=3，
∵a1=1，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∴数列{an}是以1为首项，以3为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+3（n-1）=3n-2，
∴an=$\frac{1}{3n-2}$，
点评 本题考查通过构造新数列求数列的通项、等差数列的通项公式．
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